[수학 강의] 1-4. 인수분해 - 전개, 동류항, 공통인수, 부호정하기, 인수분해 방법

 

이차방정식을 하기 전 준비단계.

 

알고 익숙해져야 할 것들.

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[인수분해 방법]

 

1. 상수항에서 두 수의 곱이 상수항의 수가 되는 것을 찾아라. (구구단)

2. 중간항에서 두 수의 합을 찾아라.

3. 부호를 정하라.

4. 최종 검산하라.

 

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1. 합과 곱을 이용한 전개

 

[전개의 역과정이 인수분해!!]

 

문제1) (x+a)(x+b)를 전개하시오.

= x²+bx+ax+ab

 

여기서 x에 대한 일차식 존재.

동류항은 하나로 묶을 수 있다.

 

같은 차수이기 때문에

공통인수 x로 끌어내면 아래와 같다.

=x² + (a+b)x + ab

 

그래서

이런 식은 앞으로 쉽게 표현할 수 있다.

 

= x²  (합)x  +  곱

= x²이 들어간 이차항  / x가 들어간 일차항 / x가 없는 상수항

즉, 일차항의 계수는 뒤에 나오는 숫자끼리의 합이다.

상수항은 뒤의 나온 각 항의 두 수를 곱한 값.

합과 곱.

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문제 2) (x+3)(x+2) 전개하라.

 

=x²+2x+3x+6

=x²+5x+6

일일이 전개 안하고,

바로 공식으로 전개해 보면

 

= x² + (3+2)x + (3x2)

=x²+5x+6

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문제 3) (x-3)(x+5)

= x² +(-3+5)x + (-3x5)

= x² + 2x -15

부호 조심하자.!!

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2. 합과 곱을 이용한 인수분해

 

              →인수분해

x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)

              ←전개

 

x2+(합)x+곱 = (x+a)(x+b)

합과 곱이 되는 두 수를 찾으면 인수분해가 된다.

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ex) x²-5x+6 인수분해하라.

 

두 수를 찾으면 되는데

일차항인 -5는 합이 되어 만들어진 수이고

상수항 6은 곱이 되어 만들어진 수이다.

두 숫자에 관여하는 두 수를 찾으면 된다.

 

우선 두 수를 찾으려면 상수항의 곱인 숫자에서 먼저 찾는 것이 편하다.

그 두수를 찾으려면 구구단을 가지고

곱해서 6되는 걸 먼저 찾아주는 게 휠씬 더 편하다.

 

 

그러면 6은 3과 2 이다. 3 x 2 =6 이니까..

그런데 이 두 수가 더해서 -5가 되려면 부호가 어떻게 정해져야 될까?

3+2 =5 이니까

-5가 되려면

3과 2가 모두 음부호인 -3과 -2를 가져야

이 숫자들을 더해서 -5가 된다.

 

즉, 두 수는 -3 과 -2 이다.

이 숫자 앞에 x만 붙여주면 인수분해 끝.

= (x-3)(x-2)

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ex) x²-2x-24 인수분해하라.

 

두 수를 찾아라.

두 수의 곱은 -24

두 수의 합은 -2

근데 이게 마이너스(-) 부호가 붙으니까 짜증난다??

 

우선 상수항의 숫자만 보면 24 이다.

상수항의 부호만 보고 일차항의 부호는 보지 말자.

곱해서 24가 되는 숫자를 먼저 찾아보자.

큰 숫자를 앞에 두고 생각해보자.

24 x 1 = 24

12 x 2 =24

6 x 4 =24

8 x 3 =24

상수항의 부호가 마이너스(-)이므로

합이 아닌 차가 2인 두 수를 찾아야 된다.

이 중에서 차가 2가 되는 것을 찾아보자.

 

왜냐하면 일차항의 부호를 제외하고 우선 숫자가 2이니까

여기서는 6 – 4 = 2 라서 숫자가 2되는 수는 6과 4 이다.

여기서는 아직까지 부호를 정하지 않은 상태라는 것을 인식하자.

 

두 수가 6과 4라는 것만 알았다.

그러면 다음 부호가 어떻게 붙어야

합이 -2 이고, 곱이 -24가 나올까??

 

상수항의 부호가 마이너스(-)이므로

합이 아닌 차가 2인 두 수를 찾아야 된다.

일차항의 -2가 나오려면 찾은 6과 4라는 숫자에서

6이 마이너스 부호가 붙어여 4를 더해서 -2가 된다.

-6 + 4 = -2

 

그러면 두 수의 곱은

-6 x 4 = -24

 

(x…6)(x…4)에서 부호를 정할 때에

큰 수는 일차항과 부호가 같다. 즉

6이 4보다 큰 수이므로 6이 일차항의 부호와 같은 마이너스를 붙인다.

상수항의 부호가 -면 곱해서 음수니까

곱이 음수면 서로 다른 부호를 써라.

따라서

(x-6)(x+4)

그래서

x²-2x-24 인수분해하면

(x-6)(x+4) 이다.

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ex) x²-4x-12 인수분해 하시오.

 

① 곱이 12가 되는 두 수를 찾아라.

구구단에서 12 나오는 수에 큰 거부터 생각해 보면

12 x 1 =12

6 x 2 = 12

4 x 3 = 12

② 이 중에서 크기가 4차이가 나는 것을 찾아라

상수항의 부호가 마이너스(-)이므로 합이 아닌 차가 4인 두 수를 찾아야 된다.

6 – 2 = 4

즉, 두 수는 6과 2 이다.

(x..6)(x…2) 쓰고 다음에 부호를 정하면 된다.

앞의 항은 일차항의 부호가 같기 때문에 마이너스(-)이다.

(x-6)(x…2)

그리고 상수항의 부호가 마이너스이기 때문에 두 부호는 다르다

즉 앞의 항이 마이너스이기 때문에 뒤에 항은 플러스(+)가 된다.

(x-6)(x+2)

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ex) x²+4x-12 인수분해 하시오.

 

① 곱이 12가 되는 두 수를 찾아라.

 

구구단에서 12 나오는 수에 큰 거부터 생각해 보면

12 x 1 =12

6 x 2 = 12

4 x 3 = 12

 

② 이 중에서 크기가 4차이가 나는 것을 찾아라.

 

상수항의 부호가 마이너스(-)이므로 합이 아닌 차가 4인 두 수를 찾아야 된다.

6 – 2 = 4

즉, 두 수는 6과 2 이다.

여기까지는 앞의 문제와 같다.

부호 붙이는게 다르다.

 

(x..6)(x…2) 쓰고 다음에 부호를 정하면 된다.

앞의 항은 일차항의 부호가 같기 때문에 플러스(+)이다.

(x+6)(x…2)

그리고 상수항의 부호가 마이너스이기 때문에 두 부호는 다르다.

즉 앞의 항이 플러스이기 때문에 뒤에 항은 마이너스(-)이다.

(x+6)(x-2)

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ex) x²-7x+12 인수분해 하시오.

 

① 우선 곱해서 12가 나오는 수는

12 x 1 =12

6 x 2 = 12

4 x 3 = 12

 

② 상수항의 부호가 플러스(+)이므로

차가 아닌 합이 7인 두 수를 찾으면 된다.

여기서 두 수의 합이 7이 되는 수는

4와 3이다. 4 +3 =7

 

(x…4)(x…3)

앞의 항은 문제의 일차항의 부호가 같으므로 -4

(x-4)(x…3)

앞의 항의 수가 -4이기 때문에

곱해서 상수항인 +12가 되기 위해서는

-4 x (?) 3= +12

즉, 상수항이 플러스(+)이면 두 수의 부호가 같다.

음수 곱하기 음수는 양수이므로

3은 -3으로 부호를 정한다.

 

-4 x (-3) = +12

따라서 인수분해하면

(x-4)(x-3) 이다.

 

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방문 감사드립니다.

 

Written by K-Lab Zone (KLZ)

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