[수학 강의] 1-3. 인수분해 - 전개, 일차식, 이차식, 동류항, 완전제곱식, 완전제곱식의 인수분해
[수학 간단 정리]
1-3. 인수분해
프롤로그(Prologue)
인수분해를 하기 위해서는 우선 전개를 먼저 할 줄 알아야 된다.
전개 및 인수 분해에 대한 여러가저 유형을 알아보고
방정식으로 가는 과정을 알아보자.
어느 수학 문제집보다도
완전 쉽고 자세히 풀어서 진행하는 방식으로 설명했다.
시작해보자.!!
1. 약간 복잡한 전개
두 개 짜리 전개에 대해 알아보자.
(x+3) 은 일차식
(2x-1) 도 일차식
(x+3) (2x-1) 은 몇 차식?
(x+3) (2x-1) = (x+3) X (2x-1)
즉, 두개의 항을 곱한 것이기 때문에 이차식이 된다.
x 는 1차
x X x = x2 이므로 2차
즉, 1차 X 1차는 2차이다.
곱하는 횟수가 차이다.
그래서
1차는 한 번 곱한다
2차는 두 번 곱한다.
그래서
(x+3) 는 일차식
(2x-1) 도 일차식
일차식 X 일차식 이니까 이차식인 것이다.
(x+3) (2x-1) 는 이차식 !!
(x+3) (2x-1) 을 전개하면??
앞쪽 일차식에서 첫번째 항을 먼저 순서대로 곱한 다음
두번째 항을 순서대로 곱하면 된다.
(x+3) (2x-1)
=x X 2x – x…..앞쪽 일차식에서 첫번째 항인 x를 두번째 일차식에 순서대로 전개했다.
다음으로
앞쪽 일차식에서 두 번째 항인 상수 3을 전개하면
= x X 2x – x + 3 X 2x + 3 X (-1)
= 2x2 – x + 6x -3
여기서
= 2x2 – x + 6x -3
-x 는 일차이고, +6x 도 일차이다.
같은 차수를 동류항이라고 하고
그래서 같은 종류의 항이라는 뜻이다.
2x2는 이차항
-x는 일차항
+6x 는 일차항
-3은 상수항
여기서 -x 는 일차이고, +6x 도 일차이기 때문에 같은 종류의 항. 동류항이다.
동류항은 하나의 항으로 만들 수 있다.!!!!!
그래서
= 2x2 – x + 6x -3
= 2x2 + 5x -3 이다.
참고로 -x는 -1 X x 이기 때문에 같은 차수의 숫자를 계산하면 -1 + 6 = 5이다.
그래서 +5 되어 +5x 로 표시되는 것이다.
(x+3) (2x-1)을 전개하면
= 2x2 + 5x -3 이 된다.
반대로 하면 인수분해!!
그래서 인수분해를 하기 위해서는 우선 전개를 먼저 할 줄 알아야 된다.!!
2. 완전제곱식의 전개
(a+b)2 식을 완전제곱식이라고 한다.
문제 1) (a+b)2 을 전개하라.
제곱이라는 것은 두번 곱하라는 얘기니까
(a+b) X (a+b) 곱하기는 생략하니까
=(a+b) (a+b)
이것을 전개하면
=a X a + a X b + b X a + b X b
빨간색은 첫번째 일차식에서 첫번째 항인 a를 전개한 것
파란색은 첫번째 일차식에서 두번째 항인 b를 전개한 것.
=a X a + a X b + b X a + b X b
=a2+ab+ba+b2
총 항이 4개가 생긴다.
여기서 ab는 ba와 동류항, 같은 차수 이다.
동류항은 하나의 항으로 만들 수 있다.
ab가 두개이기 때문에 ab + ba = 2ab
여기서
= a2+2ab+b2
2. 완전제곱식의 전개(계속)
(a+b)2
= a2+2ab+b2 이런 식이 성립하는 것이다.
수학 교과 과정에서는 이차방정식을 외우라고 한다.
외우기 쉽게 풀이 하자면
(a+b)2 에서
앞에 항을 제곱, 뒤의 항을 제곱한 것을 먼저 쓴다.
= a2…..b2
그 다음 중간에 오는 항은 각 항을 다 곱한다고 생각하자.
그러면 a X b 이고,
여기에 앞에 오는 숫자는
괄호의 제곱된 숫자를 그대로 곱한다고 생각하자.
=a2.. 2ab…b2
각 항의 부호를 뺀 나머지 항들이 표기되었다.
마지막에 부호를 표시하면 된다.
예시로 다음을 풀이해보자.
2. 완전제곱식의 전개(계속)
ex.) (a-2b)2 전개하라.
<참고>
괄호 안에 합차(+,-)가 있다고 하여 이 식이 합꼴인 형태가 아니다.
괄호로 묶인 것은 하나의 항으로 보기 때문에
괄호 X 괄호 (=>괄호 곱하기 괄호)로 연결된 이차식으로 보면 된다.
위의 전개식으로 다 풀어쓰지 말고 공식으로 전개해보자.
앞에 항 a, 뒤의 항 -2b 이다.
앞 : 앞항은 괄호의 제곱 숫자로 제곱
중간 : 제곱의숫자 x 앞 항 x 뒤 항 → 숫자는 숫자끼리, 문자는 문자끼리 곱한다.
뒤 : 뒤쪽항을 괄호의 제곱 숫자로 제곱
= a2…2 X a X -2b….(-2b)2
= a2-4b+4b2
<참고>
.(-2b)2는 -2b x -2b 이므로
음부호 X 음부호 = 양부호 이다.
음수(-)를 2번 곱하면 양수(+)가 된다.
즉, 음수 제곱하면 양수이다.!!!
-2 X b X (-2) X b = 4b2
2. 완전제곱식의 전개(계속)
ex) (2x-5)2 을 전개하라.
곱꼴을 합꼴로 전개하면 된다.
아래 공식을 사용하여 전개해보자.
(a+b)2 = a2+2ab+b2
① 2x의 제곱
② -5의 제곱
③ 2 X 2x X (-5)를 가운데에 = -20x
(2x)2 + 2 X 2x X -5 + -(5)2
=4x2 - 20x + 25
3. 완전제곱식의 인수분해
복습
(a+b)2 은 완전제곱식이다.
이것을 전개하면
= a2+2ab+b2
인수분해는 반대
a2+2ab+b2 을 인수분해 해보자.
전개할 때의 반대이다.
① 괄호를 먼저 쓰고 제곱한다.
② 앞의 항은 무엇을 제곱하면 될까? a
③ 뒤의 항은 무엇을 제곱하면 될까? b
우선 괄호 안에 무작정 써 본다.
(a b)2
그런 다음 가운데 항의 부호(+2ab)를 똑같이 써 본다.
(a+b)
그 다음에 중간 항이 제곱의 숫자, 앞,뒤 항을 다 곱했을 때에
중간값이 맞는지 확인해줘야 한다.
중간항 부호까지 그대로 쓴 후에
혹시나 이 가운데 항이 나올지만 체크해 봐라.
2 X a X b 곱하면 2ab가 되나? 안되나? 된다.
3. 완전제곱식의 인수분해(계속)
ex.) x2-4xy+4y2 을 인수분해 하라.
합꼴을 곱꼴로 바꿔라.
① 앞의 항이 무엇을 제곱하면 x2이 될까 ? x
② 뒤의 항이 무엇을 제곱하면 4y2가 될까 ? 2y
(x…2y)2
③ 2 X x X 2y = 4xy
④ 그런데 중간항의 부호가 음수(-) 이다.
=(x-2y)2
x2-4xy+4y2
=(x-2y)2
완전제곱식 성립.
3. 완전제곱식의 인수분해(계속)
ex) 9x2-12xy+4y2 을 인수분해 하시오.
앞에 항이 제곱식, 뒤의 항도 제곱식이면 완전제곱식을 의심해보자.
① 앞의 항은 3x를 제곱한 항 → 3x X 3x = 9x2
② 뒤의 항은 2y를 제곱한 항 → 2y X 2y = 4y2
= (3x-2y)2
③ 중간 항이 제곱의 숫자 X 앞 항 X 뒤 항의 값으로 되었는지 확인
2 X 3x X (-2y)
= 6x X 4y
= -12xy
중간항과 같다. 그러면 그대로 쓴다.
9x2-12xy+4y2을 인수분해하면
= (3x-2y)2 이다.
3. 완전제곱식의 인수분해(계속)
ex) x2-10x+25=0 을 인수분해하라.
괄호, 앞 항, 뒤 항, 제곱을 먼저 쓰고
(x....-5)2
다음으로 중간항은 계산해 본다.
2 X x X –5 = -10x
중간항까지 맞기 때문에
(x-5)2 = 0 이다.
완전제곱식 성립!
그런데 아직까지는 이차방정식의 x값 구하기 단계는 아니기 때문에
인수분해된 식이 (x-5)2 이다.
여기까지만 알고 있으면 된다.
다음 chapter에서는 이차방정식에 대해서 알아보자.
방문 감사드립니다.
Written by K-Lab Zone (K-LZ)
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